秦汉史考订文集

第五章 两汉时期数学发展概略

　　在古代中国，数学发展成系统的、专门的学科，是在两汉时期完成的。这一时期，产生了许多卓有成就的数学家，学校中普遍设置了数学课程，并且出现了不少数学专著。本文拟就这几个方面，对汉代数学的发展做一个初步的概述。

　　一、两汉时期的数学家

　　在数学方面，两汉时期可以说人材辈出。并且，出现了一位知名的女数学家班昭，这也是难能可贵的。先秦时代，没有专门以数学知名的人物[1]。比较起来，汉代数学家的大批涌现确是数学获得飞跃发展的明证。下面对这一时期的数学家逐一加以介绍。

　　西 汉

　　（1）张苍：秦时为柱下御史，后归汉，是西汉的建国功臣，文帝时，官至丞相。“明习天下图书计籍。苍又善用算律历”，[2]是汉初律历制度的奠基人。晋刘徽认为张苍在《九章算术》的形成过程中，曾经进行过整理：“周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目，则与古或异，而所论者多近语也。”[3]

　　（2）落下閎：巴郡民间数学家。武帝时改革历法，造汉《太初历》，“乃选治历邓平及长乐司马可、酒泉候宜君、侍郎尊及与民间治历者，凡二十余人，方士唐都、巴郡落下閎与焉。都分天部，而閎运算转历。”[4]

　　（3）桑弘羊：武帝时为治粟都尉，后升任御史大夫。“平準”、“均输”政策的制定者。“弘羊，洛阳贾人之子，以心计（师古曰：‘不用筹算’）。”[5]由于桑弘羊算法纯熟，可以不用筹这种计算工具，而凭默算即可得出答案，这自古以来就被认为是高超的计算家。老子就说过：“善数不用筹策。”[6]桑弘羊制定过均输法，《九章算术》第六章即讲“均输”。《汉书·公孙弘卜式儿宽传赞》说：“运筹则桑弘羊”。可见，桑弘羊在核算、统计、运筹这方面是一个专家。

　　（4）路温舒：出身下层人民，自幼好学。“父为里监门，使温舒牧羊。温舒取泽中蒲，截以为牒，编用写书。”[7]宣帝时，官至临淮太守。路温舒曾经跟他的祖父学习过“历数天文”。[8]

　　（5）耿寿昌：宣帝时为大司农中丞，在经济政策方面曾提出许多改革建议。“大司农中丞耿寿昌以善为算，能商功利，得幸于上。”[9]御史大夫肖望之说：“寿昌习于商功分铢之事，其深计远虑，诚未足任。”[10]虽然肖望之是耿寿昌的反对派，不赞成他的经济政策，但也承认他“习于商功分铢之事”。《九章算术》第五章即讲“商功”。

　　（6）许商：先后为河隄都尉、将作大匠。许商是当时著名的数学家、天文学家、治河专家，著《五行论历》、[11]《许商算术》。[12]成帝建始元年（公元前32年）、河平三年（前26年）、鸿嘉四年（前17年），三次参加规划黄河的治理工程，多见功效。

　　（7）杜忠：成帝时人，生平不详。《汉书·艺文志》有《杜忠算术》十六卷。杜忠和许商齐名，“《九章术》，汉许商杜忠、吴陈炽、魏王粲，并善之。”[13]

　　（8）尹咸：官至大司农、太史令。“成帝时，以书颇散亡，使谒者陈农求遗书于天下。诏光禄大夫刘向校经传诸子诗赋，步兵校尉任宏校兵书，太史令尹咸校数术。[14]侍医李柱国校方技。”[15]尹咸负责审订“数术”类图书，其中，天文、历法、数学等自然科学技术著作是最主要的部分。所以尹咸必定也是一个数学内行。

　　（9）卓茂：西汉末东汉初人。“元帝时，学于长安，事博士江生，习《诗》、《礼》及历算，究极师法，称为通儒。”[16]

　　（10）刘歆：刘向之子，西汉成帝时，为黄门郎。“河平中，受诏与父向领校秘书，讲六艺传记，诸子、诗赋、数术、方技，无所不究。”[17]刘歆助王莽夺取政权，新朝建立后，封为国师、嘉新公。刘歆整理过历法史，著《三统历谱》。

　　东 汉

　　（1）杜诗：光武建武七年，为南阳太守。“善于计略，[18]省爱民役，造作水排，铸为农器，用力少，见功多，百姓便之。又修治陂池，广拓土田，郡内比室殷足。”[19]

　　（2）郅恽：光武时，官至长沙太守。“理《韩诗》、《严氏春秋》，明天文历数。”[20]

　　（3）许杨：“少好术数。”[21]“汝南旧有鸿却陂，成帝时，丞相翟方进奏毁败之。建武中，太守邓晨欲修复其功，闻杨晓水脉，召与议之……因署杨为都水掾，使典其事。杨因高下形势，起塘四百余里，数年乃立。百姓得其便，累岁大稔。”[22]

　　（4）冯勤：官至司徒。“八岁善计。”[23]

　　（5）王景：“景少学《易》，遂广窥众书，又好天文术数之事，沈深多伎艺。辟司空伏恭府。时有荐景能理水者，显宗诏与将作谒者王吴共修作浚仪渠。吴用景墕流法，水乃不复为害。”[24]

　　（6）班昭：班彪之女，班固之妹，扶风曹世叔妻，习称曹大家。“博学高才。世叔早卒，有节行法度。兄固著《汉书》，其八表及《天文志》未及竟而卒。和帝诏昭就东观藏书阁踵而成之。帝数召入宫，令皇后诸贵人师事焉。”[25]“（和帝邓后）自入宫掖，从曹大家受经书，兼天文、算数。”[26]

　　（7）马续：“续字季则，七岁能通《论语》，十三明《尚书》，十六治《诗》，博观群籍，善《九章算术》。”[27]

　　（8）张衡：汉代著名的科学技术专家。“衡善机巧，尤致思于天文、阴阳、历算……安帝雅闻衡善术学，公车特征拜郎中，再迁为太史令。遂乃研核阴阳，妙尽璇机之正，作浑天仪，著《灵宪》、《算罔论》，言甚详明。”[28]顺帝阳嘉元年（公元132年），复造候风地动仪，可以测知地震发生的方向，灵敏度很高，“验之以事，合契若神。”[29]张衡死于顺帝永和四年（公元139年），年六十二。他的好友也善数学的崔瑗撰碑文，称赞他“数术穷天地，制作侔造化。”[30]可见时人推许之高。

　　（9）崔瑗：“年十八，至京师，从侍中贾逵质正大义，逵善待之。瑗因留游学，遂明天官、历数、《京房易传》、六日七分。”[31]

　　（10）郎宗：“学《京氏易》，善风角、星算、六日七分，能望气占候吉凶，常卖卜自奉。”[32]

　　（11）翟酺：“酺好《老子》，尤善图纬、天文、历算。以报舅仇，当徙日南，亡于长安，为卜相工。”[33]

　　（12）樊英：“少受业三辅，习《京氏易》，兼明《五经》，又善风角、星算、《河洛》、《七纬》，推步灾异。”[34]

　　（13）王延寿：字文考，一字子山。“有隽才，少游鲁国，作《灵光殿赋》……后溺水死，时年二十余。”[35]李贤《后汉书》注引晋张华《博物志》：“王子山与父叔师到泰山从鲍子真学算，到鲁赋灵光殿，归度湘水溺死。”[36]

　　（14）刘瑜：“瑜少好经学，尤善图谶、天文、历算之术。”[37]

　　（15）徐稚：出身下层人民。“家贫，常自耕稼，非其力不食。”[38]李贤《后汉书》注引《谢承书》曰：“稚少为诸生，学《严氏春秋》、《京氏易》、《欧阳尚书》，兼综风角、星官、算历、《河图》、《七纬》、推步、变易。”

　　（16）刘宽：李贤《后汉书》注引《谢承书》曰：“宽少学《欧阳尚书》、《京氏易》，尤明《韩诗外传》。星官、风角、算历，皆究极师法，称为通儒。”[39]

　　（17）单飏：官太史令。“以孤特清苦自立，善明天官、算术。”[40]

　　（18）何休：东汉今文经学大师，撰《春秋公羊解诂》传世，“休善历算”。[41]

　　（19）刘洪：汉宗室，官谷城门候、会稽东部都尉，后领山阳太守。“洪笃信好学，观乎六艺群书意，以为天文数术，探赜索隐，钩深致远，遂专心锐思。”[42]“洪善算，当世无偶，作《七曜术》。及在东观，与蔡邕共述《律历记》，考验天官。及造《乾象术》，十余年，考验日月，与象相应，皆传于世。”[43]刘洪是当时最优秀的数学家，蔡邕说他“密于用算”，[44]并非虚语。他的《乾象历》也为后人所称道。

　　（20）蔡邕：“少博学，师事太傅胡广。好辞章、数术，妙操音律。”[45]

　　（21）郑玄：著名的古文经学大师。郑玄曾在太学受业，“师事京兆第五元先，始通《京氏易》、《公羊春秋》、《三统历》、《九章算术》……以山东无足问者，乃西入关，因涿郡卢植，事扶风马融……会融集诸生考论图纬，闻玄善算，乃召见于楼上，玄因从质诸疑义，问毕辞归。”[46]“（马融）尝算浑天不合，诸弟子莫能解，或言玄能者。融召令算，一转便决，众咸骇服。”[47]郑玄除经学外也擅长数学，闻名后世。晋皇甫谧说他兼通“《九章算术》”，[48]梁刘孝标说他“博极群书”，“兼精算术。”[49]

　　（22）徐岳：“东莱徐先生素习《九章》，能为计数”，[50]著《数术记遗》。

　　二、数学家对社会的贡献

　　上文介绍了两汉时期以数学知名的人物，共三十二人。他们掌握了数学知识，并应用于社会实践之中。根据数学家们的主要活动来看，可以分作四种情况。一是用于经济理财，二是用于天文历法，三是用于工程机械，四是用于占卜谶纬。

　　两汉时期，中国脱离了春秋战国数百年的混战局面，建立了统一的大帝国，社会经济有很大的发展。到西汉平帝元始二年（公元2年），“凡郡国一百三，县邑千三百一十四，道三十二，侯国二百四十一。地东西九千三百二里，南北万三千三百六十八里。提封田一万万四千五百一十三万六千四百五顷，其一万万二百五十二万八千八百八十九顷，邑居道路，山川林泽，群不可垦，其三千二百二十九万九百四十七顷，可垦不可垦，定垦田八百二十七万五百三十六顷。居户千二百二十三万三千六十二，口五千九百五十九万四千九百七十八。”[51]东汉时，皇室的开支“经用岁且二万万。”[52]象这样一个规模空前的统一的大国，管理政府的财政、税收、军费、贸易等等，必须具备相当高的数学知识。甚至民间富商大贾要发家致富，也需要善于筹算，如西汉冶铁致富的蜀卓氏，“即铁山鼓铸，运筹算，贾滇、蜀民，富至童八百人。”[53]总之，经济的发展对数学是一个巨大的促进。西汉桑弘羊、耿寿昌就是精通数学的理财家。

　　汉代的天文历法学在总结先秦成果的基础上，达到了新的高度。天文历法的发展必须借助于数学。很多数学家同时也是天文家和历法家。张苍、落下閎、刘歆、班昭、张衡、刘洪、蔡邕等都是这方面的代表人物。

　　和社会生产直接相关的是把数学应用于修建工程和制造机械。汉代搞过多次大规模的治河及其它水利工程、建筑工程。每次大的工程都需要有“用算者”参与规划。如汉武帝开辟皇家猎场上林苑，“乃使太中大夫吾丘寿王与待诏能用算者二人，举籍阿城以南，周至以东，宜春以西，提封顷亩，及其贾直，欲除以为上林苑，属之南山。”[54]新莽地皇元年（公元20年），修祖庙九所，大兴土木，“博征天下工匠诸图画，以望法度算，及吏民以义入钱谷助作者，骆驿道路。”[55]这两个例子谈的是皇家工程，其它工程也同样要有数学家参与其事，起到工程师和设计师的作用。西汉的许商就曾三次参加过治理黄河的规划。东汉的许杨主持过修建鸿却陂水库，王景主持过修建浚仪渠水利工程。另外，一些数学家把他们的知识用于机械制造方面，东汉的杜诗造水排（水力鼓风机）以铸农器，开发了廉价的动力资源，节省了劳力，提高了社会生产。张衡设计制造了著名的浑天仪和候风地动仪，在世界科学技术史上，占有极为重要的地位。

　　当然，也有一些懂得数学的人，把他们的知识用于进行占卜，解说谶纬等方面，宣扬迷信思想和天命观，特别是在东汉时期，更为突出，如崔瑗、郎宗、翟酺、樊英、刘瑜、徐稚等。在这一部分数学家那里，则是糟粕多于精华了。

　　三、数 学 教 育

　　汉代的数学很发达，产生了很多数学家，这是和当时的数学教育分不开的。

　　在汉代，自然村称为里，若干里组成一乡。里和乡设有学校，称为庠序，所谓“里有序而乡有庠。”[56]庠序在汉代也叫做小学，是初级学校，一般入学年龄为八岁（虚岁），开始学习的课程有六甲、五方、书计三门。书计就是算术，是一门必修课。《白虎通》“八岁毁齿，始有识知，入学，学书计。”[57]为了便于学习和使用，国家规定了统一的计量单位。“度长短者不失豪氂，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍累。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。宣于天下，小学是则。”[58]

　　由于民间重视数学，有一些数学家就是从民间而来，经过进一步的深造，达到了很高的水平，例如落下閎、路温舒、徐稚等人就是如此。西汉武帝时，改革历法，甚至连专管星历天文的官员都表示对新历法的数据“不能为算”，后来从民间聘请了落下閎等高手，才解决了运算的问题。由此可见，民间数学教育是很发达的。

　　在上层社会中，皇室贵族更需要学习数学。“《礼》制，人君之子年八岁，为置少傅，教之书计，以开其明。”[59]甚至皇帝的后妃也有通数学的，上文提到和帝邓后曾经跟班昭学过天文算数，此外，灵帝王美人“聪敏有才明，能书会计”，[60]也是一个例证。武帝的儿子燕王旦则“好星历、数术、倡优、射猎之事，招致游士。”[61]武帝姑母馆陶公主宠幸董偃，“始偃与母以卖珠为事，偃年十三，随母出入主家。左右言其姣好，主召见，曰：‘吾为母养之。’因留第中，教书计、相马、御射，颇读传记。”[62]董偃挤入贵族阶层，必须学习文化，数学也成为科目之一。东汉权戚梁冀也是“口吟舌言，裁能书计。”[63]

　　如果要进行深造和研究，取得更高深的数学知识，仅仅在庠序一类小学中学习书计，当然是不够的。两汉时期，官学和私学并盛。最高等的官学是设在首都的太学，太学有专门的博士授业。但太学没有数学科目，进修数学则要投入私人的学校。汉代，私人讲学之风盛行，特别是在东汉，著名学者往往有数百甚至上千的学生。在这些学者当中，师徒相传。许多有成就的数学家都在私学中经过名师的指教。例如，“孝武时，夏侯始昌通《五经》，善推《五行传》，以传族子夏侯胜，下及许商，皆以教所贤弟子。”[64]再如，郑玄、徐岳都是刘洪的学生，三国吴阚泽又从徐岳学习天文历法和数学。总之，高等的数学知识的学习是要有师承的。

　　由于数学教育的发展，究竟怎样提高和深造也是人们所关心的问题。《周髀算经》上有一个故事，叙述陈子和他的学生荣方的一段对话，很具有启发性。荣方向陈子请教数学问题，陈子让他反复思考，荣方仍不能明暸，最后陈子说：“夫道术言约而用博者，智类之明；问一类而以万事达者谓之知道。今子所学算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，即学矣，患其不博；即博矣，患其不习；即习矣，患其不能知。”[65]陈子的话说明要学好数学必须先打好坚实广博的基础，然后反复钻研，最后才能掌握规律，才能“知道”，即“问一类而以万事达”，而在整个学习过程中，又必须进行艰苦的思考，才能不断进步。这个见解，现在看来也是很有道理的。

　　当然，汉代的学校，无论小学或太学，也无论官学和私学，其所传授的内容是以儒家经典为主的纲常教化。但是，数学科目能够占有一定的比重，并产生一批促进了社会生产发展的数学人材，这也是值得大书特书的了。

　　四、计算工具和数学专著

　　汉代的计算工具叫算筹。《汉书·律历志》记载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”《说文·竹部》：“筭长六寸，计历数者，从竹从弄，言常弄乃不误也。”二者记载长度相同。汉尺长23公分，六寸合13.8公分。算筹实际就是十多公分长的小竹棍，二百七十一根为一组。[66]它的样子很象吃饭用的筷子。一次刘邦正在吃饭，张良和他研究军事策略，就用筷子比作筹，说：“臣请藉前箸为大王筹之。”[67]1971年在陕西千阳县发掘了一座西汉墓，出土了三十一根骨质算筹。[68]1975年在湖北江陵发掘凤凰山一六八号汉墓时，和书写工具一起，也出土了一些“竹棍”，[69]实即算筹。这两次发现使我们具体地看到了算筹的形制。算筹的创设由来已久，开始使用的年代今已无考，但到了汉代确是很普遍地流行了。

　　算筹使用的方法很简单，和后来的珠算大体相同。用算筹代表数字分纵式和横式二种，摆法如下：

　　1234 5678 9

　　纵式

　　横式

　　为使进位不易弄混，表示数字时，纵横两式间错排列，如4872 摆成。加减乘除都可以用算筹的摆法以及位置的变动来进行运算。[70]

　　古代书写的材料主要用竹简和缣帛。解一道复杂的数学题，要进行大量的运算，一旦得到答案，运算的底搞就废弃无用。因此，使用竹简缣帛做底稿即浪费又不便。用算筹作计算工具，可以节省书写材料，而且简单准确，不易发生错误。在世界数学史上，算筹是我国独特的发明。

　　另外，九九表在当时社会上也很流行。敦煌和居延都发现过汉代九九表的残简。[71]汉代的九九表和现在的乘法口诀大体是一样的，不同的地方是汉代九九表从九九八十一开始，其顺序和现在相反。在汉代的史籍中，多次提到九九表，也可以证明它使用的广泛。

　　九九表当然不是真正的数学著作。专门的数学著作在我国历史上也是从汉代开始才有的，但可惜的是许多重要著作已经失传了。《汉书·艺文志》记载的《许商算术》和《杜忠算术》以及张衡的《算罔论》，今已不存。徐岳有《数术记遗》之作，今存《算经十书》中的《数术记遗》一卷，显系伪作。

　　然而，汉代有一部讲天文和数学的著作《周髀算经》和一部数学方面的综合著作《九章算术》，却流传下来。根据这两部书，特别是《九章算术》，我们可以知道当时数学所达到的高度。

　　《周髀算经》大约成书在公元前一世纪，即西汉末期，采用问答体。书分上下两卷，上卷主要讲数学。全书以周公和商高的对话开篇，实际上是解说勾股定理和用勾股定理进行测量大地的运算。勾股定理在中国旧称商高定理，来源于此。下卷更多地讲天文，阐述盖天说的理论。

　　《九章算术》大约在东汉初期编写成书，[72]采用习题集的形式，共有二百四十六个应用问题，分九章来叙述。其中绝大多数的问题是和生产直接有关的。劳动人民从生产实践中提出来许多需要数学解决的问题，这些问题逐步完善和提高，才形成了《九章算术》的体系。

　　《九章算术》的内容涉及的方面是非常广泛的。其中有各种形状的土地面积的计算、各种粮食的比例关系、破坏青苗的赔偿办法、日用商品的价格计算、共同狩猎时猎获物的分配、手工劳动的产品耗工率、各种土石工程的用工量、雇工劳动的工钱折算、运输物品的里程和工价、国家税收和劳役分配的比例等等。由此可见，数学和社会生产的关系是非常密切的。

　　《九章算术》在中国数学发展史上占有很重要的地位，它是直到汉代以前中国数学成就的一个总结。在算术、几何、代数等方面，《九章算术》都表述了很多基本定理，采用了很多简明的计算步骤。在算术方面，包括了复杂的分数运算，并提出以最小公倍通分母的方法，阐述了各种比例关系，提出了“盈不足”问题。在几何方面，有关于正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、弓形、球面等平面几何学和球面几何学的问题，也有关于立方体、长方体、平截角锥体、圆锥体、方台、各种楔体、圆柱体、球体等立体几何学的问题。在代数方面，有多元联立方程、开平方、开立方和多次方程的计算方法，并且，已经引入了正负数的概念。《九章算术·方程》卷八中说：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”《九章算术》的成就在代数学方面是更为突出的。

　　《九章算术》为中国古代数学的发展打下了基础。此后直到唐代，数学的各分支虽然在不断地发展和提高，但总的体系没有超出《九章算术》的范围。

　　两汉时期，在数学方面，出过许多专家，达到过很高的水平，留下了宝贵的遗产。当时中国的数学完全可以加入世界最先进的行列，某些方面还超过了世界先进水平。可以说，当时中国的数学应用在世界上是遥遥领先的。

　　中华民族是一个伟大的民族。我们的祖先曾经对人类做出过较大的贡献。我们的祖先曾经争得的光荣，我们今天一定能够使之发扬光大！

　　注释：

　　[1]今存《孙子算经》一书，相传为春秋末孙武所著，要为后人依托，未可据信。

　　[2]《史记·张丞相列传》卷九六。

　　[3]刘徽《九章算术原序》。

　　[4]《汉书·律历志》卷二一。

　　[5]《汉书·食货志》卷二四。

　　[6]《老子·第二十七章》。

　　[7][8]《汉书·路温舒传》卷五一。

　　[9][10]《汉书·食货志》卷二四。

　　[11]《汉书·儒林传》：“（许）商善为算，著《五行论历》。”

　　[12]《汉书·艺文志》有《许商算术》二十六卷。

　　[13]《广韵》卷四，算字条。

　　[14]颜师古注数术为“占卜之书”，但《艺文志·数术略》包括天文二十一家，历谱十八家（其中即有《许商算术》和《杜忠算术》）、五行三十一家、蓍龟十五家、杂占十八家、形法六家。师古以占卜解数术，得少而失多。

　　[15]《汉书·艺文志》卷三十。

　　[16]《后汉书·卓茂传》卷二五。卓茂历西汉元、成、哀、平四帝，王莽居摄，为门下掾祭酒，东汉立，为太傅，死于光武建武四年。卓茂研习数学及其主要政治活动在西汉，故列于此。

　　[17]《汉书·楚元王传》卷三六。

　　[18]计略的计即“书计”的计，计略作计算，规划解。

　　[19]《后汉书·杜诗传》卷三一。

　　[20]《后汉书·郅恽传》卷二九。

　　[21][22]《后汉书·方术许杨传》卷八二。

　　[23]《后汉书·冯勤传》卷二六。李贤注：“计，算术也。”

　　[24]《后汉书·循吏王景传》卷七六。

　　[25]《后汉书·列女曹世叔妻传》卷八四。

　　[26]《后汉书·皇后纪》卷十。

　　[27]《后汉书·马援列传》卷二四。

　　[28][29]《后汉书·张衡列传》卷五九。《九章算术》卷五，刘徽注文引张衡《算》，或即《算罔论》佚文。

　　[30]《后汉书·张衡列传论》卷二四。

　　[31]《后汉书·崔骃列传》卷五二。

　　[32]《后汉书·郎顗传》卷三十。

　　[33]《后汉书·翟酺传》卷四八。

　　[34]《后汉书·方术樊英传》卷八二。

　　[35]《后汉书·文苑王逸传》卷八十。

　　[36]今本《博物志》卷四：“余友人下邳陈德龙谓余言曰：《灵光殿赋》南郡宜城王子山所作。子山尝之太山从鲍子真学算，过鲁国而殿睹赋之，还归本州，溺死湘水，时年二十也。”文字有异。

　　[37]《后汉书·刘瑜传》卷五七。

　　[38]《后汉书·徐稚传》卷五三。

　　[39]《后汉书·刘宽传》卷二五。

　　[40]《后汉书·方术单飏传》卷八二。

　　[41]《后汉书·儒林何休传》卷七九。

　　[42]《续汉书·律历志》注引《博物记》。

　　[43]《续汉书·律历志》注引《袁山松书》。

　　[44]《蔡中郎集·上汉书十志疏》。

　　[45]《后汉书·蔡邕列传》卷六十。

　　[46]《后汉书·郑玄传》卷三五。

　　[47]刘义庆《世说新语》卷二。

　　[48]《太平御览》卷五〇九引皇甫谧《高士传》。

　　[49]《世说新语》卷二刘孝标注引《（郑）玄别传》。

　　[50]《太平御览》卷七五四引魏王朗《塞势》。

　　[51]《汉书·地理志》卷二八。

　　[52]《后汉书·皇后纪》卷十。

　　[53]《汉书·货殖传》卷九一。

　　[54]《汉书·东方朔传》卷六五。

　　[55]《汉书·王莽传》卷九九。

　　[56]《汉书·食货志》卷二四。

　　[57]《白虎通·辟雍》卷二。

　　[58]《汉书·律历志》卷二一。

　　[59]《后汉书·杨终传》卷四八。

　　[60]《后汉书·皇后纪》卷十。

　　[61]《汉书·武五子传》卷六三。

　　[62]《汉书·东方朔传》卷六五。

　　[63]《后汉书·梁统列传》卷三四。

　　[64]《汉书·五行志》卷二七。

　　[65]《周髀算经》卷上。

　　[66]周正权《汉书律历志补注订误》解释“二百七十一枚而成六觚”一语，谓用算筹组成每边十根的正六边形，总数恰为二百七十一。

　　[67]《史记·留侯世家》卷五五。

　　[68]《千阳县西汉墓中出土算筹》，见《考古》1976年第2期。

　　[69]《湖北江陵凤凰山一六八号汉墓发掘简报》，见《文物》1975年第9期。

　　[70]参见李俨、杜石然《中国古代数学简史》（上册），15页。

　　[71]《流沙坠简·小学术数方技书》、《居延汉简考释》卷四。

　　[72]《周髀算经》和《九章算术》成书的确实年代，不易考订，这里采用一般说法，参见钱宝琮主编《中国数学史》，29页、32页。

　　（原载《思想战线》1977年第6期）