一只又死又活的薛定谔的猫

第四章 信息、熵与黑洞

　　当今世界，信息已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。信息的存在性是毋庸置疑的，但它又不是一般意义上的实体。如何从物理学的角度给信息下一个定义，这件事着实让物理学家、数学家和计算机学家们颇费了一番斟酌。人们最后是从信息的存储入手，将信息“实体化”的。一条信息不论是记忆在人的大脑里，还是记录在书本上，或是存储在计算机中，总之它都必须依附于某个物质的实体。没有承载信息的实体，信息就无法存在。这就提出了一个非常有意思的问题：对于一个给定大小的空间，能够存储于其中的信息是否有一个极限？如果有，这个极限是多少？如何计算？要回答这个问题，首先需要把信息“数量化”。这倒不难，因为任何一条信息都可以被等价于一组特定的0/1的组合，就像存储于计算机里的数据一样。所以构成信息的最小单位就是0/1，称作位元（或比特）。这样一来，上面的问题就简化为“对于一个给定大小的空间，最多有多少个位元能够存储于其中”。

　　要回答这个问题，需要借助一个十分重要也非常有趣的物理量--熵。熵是用来衡量一个系统有序与无序程度的量，熵越大，系统就越无序（通俗地说，就是越乱）。熵本身是一个宏观物理量，但描述的却是一个系统微观的有序、无序程度。如果把你的卧室看作一个宏观系统，卧室里的床、椅、鞋、袜等等则是构成这个系统的微观元素，卧室里面越乱，它的熵就越大。从在物理学中占有重要地位的热力学第二定律出发，可以得出熵增加原理：一个孤立系统（即与外界没有能量交换的系统）的熵是永不减少的。仍以卧室为例，如果没有任何人花力气去整理它（在这里“整理”可以被看做是从外界输入能量），从某种意义上说这个卧室就可以被看成是一个孤立系统，它的熵就永远不会减少，即只可能变得越来越乱。

　　信息论之父香农（Claude Shannon，1916-2001）于1948年发表的论文《通信的数学理论》被视为现代信息论研究的开山之作，在该文中他首次提出了信息熵的概念。信息熵描述的是随机变量的不确定性，也就是不可预测性。它不但在数学表达形式上与物理熵一致，在实质上也与物理熵有着紧密的联系。不难想象，一个系统越无序，对它就越难准确描述，当然也就越不可预测。两间放有相同东西的房间，比如说里面都有10本杂志，一间很乱（物理熵高），杂志东一本西一本，床上、地上哪儿都有。一间很整齐（物理熵低），所有的杂志都摞在床头柜上。如果有人进来随手拿起一本杂志向某个方向胡乱一扔（杂志位置变动的信息），对前者来说，几乎无法判断出房间里面有什么变化（难以得到信息），而对后者，变化则是一目了然的（容易得到信息）。

　　信息与熵的关联是比较显而易见的，但信息与黑洞之间能有什么联系呢？在回答这个问题之前，让我们先来看看黑洞的一些重要性质。

　　黑洞最初是被作为广义相对论的一个数学结论而提出。它的发现本身就颇有戏剧性。爱因斯坦在1915年提出广义相对论的引力场方程，这个非线性的方程是广义相对论的核心，但在数学上却很难解。在广义相对论发表之初，那些引起举世轰动的预测，都是爱因斯坦在对该方程进行了一些近似之后才最终得到的。然而就在引力场方程刚刚问世之后不久，极具天才的天体物理学家史瓦西（Karl Schwarzschild，1873-1916）就得到了第一个精确解。史瓦西出生于德国法兰克福，16岁时就发表了一篇关于行星轨道的论文。他在斯特拉斯堡与慕尼黑大学求学，1896年获得博士学位，1912年成为普鲁士科学院的会员。1914年第一次世界大战爆发，尽管已年过40，他居然投笔从戎参加了德军，并成了一名炮兵上尉。1915年在俄国前线的战壕里，他写了一篇关于相对论的重要论文（完成于1916年初），得到了一般性引力理论方程的第一组精确解。其中一个解是关于“非转动性、球对称的天体”，另外一个解的对象则是关于在真空中任意质量的星体周围的空间特性。正是这第二个解奠定了经典黑洞研究的基础，在天体物理学和宇宙学中具有里程碑的意义。他把论文寄给了爱因斯坦，并由爱因斯坦协助发表在普鲁士科学院会刊上。然而，当论文发表时，史瓦西已因病去世了。

　　史瓦西的经典黑洞的结构其实十分简单。它有一个边界（事件视界），包括光在内的任何东西一旦越过了事件视界就有去无回，从那一瞬间起，它们与外界就断绝了所有的联系，当然也无法与外界交换信息。事件视界的大小（也就是我们通常说的黑洞的大小）由黑洞的质量决定。事件视界并不是实体，在那儿其实什么都没有，它只是代表有去无回的分界线。黑洞的中心是一个密度无限大的“奇点”，任何掉进黑洞的物体最后都会消失于这个“奇点”。在“奇点”与事件视界之间也是什么都没有。事件视界具有很奇特的性质：对于一个被吸入黑洞的物体，当它穿过事件视界时，不同的观测者会看到完全不同的现象。在一艘飞船被吸入黑洞的过程中，如果让它每秒钟都发出一次无线电信号，在外界的观测者看来，飞船越靠近事件视界，信号到达的间隔会变得越长，当它穿过事件视界时，信号就再也收不到了--飞船彻底消失了。但是对飞船里的观测者，飞船穿过事件视界时，任何特殊的事情都不会发生，真正的毁灭只发生于飞船到达“奇点”的那一瞬间。

　　在我们的宇宙里，天文学家已经观测到了很多各式各样的黑洞。银河系的中心就是一个非常巨大的黑洞。通常当一颗质量很大的恒星将它可以用来进行核聚变的物质消耗殆尽时，就会发生由引力引起的“坍塌”，恒星的密度会变得极大而形成黑洞。

　　黑洞在物理学中从来就是一个“麻烦制造者”。让我们来做一个想象中的实验：划定一个半径为一米的球型区域，然后不断往里面扔书、手机、电脑等等，这些东西都带有一定数量的信息（当然也都有一定数量的熵）。假设我们有办法控制这个区域使其不能增大，随着越来越多的东西被扔进去，该区域中物质的密度就会越来越大。当密度最终达到了一个临界值，这个区域就将成为一个黑洞。此后再往里面扔东西，就无论如何也没办法保持区域不增大了，因为黑洞的半径与它的质量成正比。由于任何东西都不可能从黑洞里逃出来，所以这部分信息也就再也不能为外界所知了。更糟糕的是，经典黑洞是没有温度的，没有温度的物体的熵是零，而熵是零意味着信息不存在。也就是说，经典黑洞会让宇宙的熵减少（这与热力学第二定律相悖）并使信息消失。这就在理论上产生了极大的危机。我们都知道能量守恒是物理世界的根本定律之一，能量可以传输、转换，但不能消失。信息也一样，可以传输、转换，甚至被掩盖、隐藏，但不能彻底消失。也许有人会想，如果把一本书烧了，书里记载的信息难道不是消失了吗？表面看来似乎是这样，但深一层想，所谓书和书里的字说到底其实就是许多原子按特定顺序排列组合而成。烧书的过程不外乎就是将这些原子的顺序打乱的过程。如果有极为精准的仪器能够追踪、捕捉所有这些四散而去的原子，原则上就可以再把它们都“放”回原处，从而将书复原。这意味着书虽然烧了，但书里的信息并未毁灭，只是被那些四散而去的原子携带走了。

　　第一个在黑洞熵的研究上获得实质性突破的，是柏肯斯坦（Bekenstein）。他那时还在普林斯顿大学读研究生（1973年），师从大名鼎鼎的惠勒（John Wheeler，1911-2008，黑洞这个名词就是他创造的）。柏肯斯坦基本上凭的是物理直觉和唯象的分析，他虽然得到了一个重要结论--黑洞的熵与黑洞的表面积成正比，却没能计算出正确的比例常数。由于柏肯斯坦的结论缺少坚实的理论基础，当时没有引起太多人的重视。直到霍金（Stephen Hawking）于1974年非常巧妙地将量子效应应用于黑洞的研究，得出了黑洞具有温度的重要结论，才彻底解决了物理学上的这一“危机”。

　　在量子理论中，真空并不是真的什么都没有，而是不断有正粒子和反粒子对（比如电子和正电子）在生成和湮灭。只是这个过程极为短暂，从宏观上看就像什么都没发生一样。但如果正-反粒子对恰好是在黑洞的事件视界上生成，情况就会大不一样。黑洞会“优先”将反粒子吸入，而正粒子则飞向外界。于是从外界看起来，黑洞就像一个生成源，会辐射正粒子。另一方面，由于反粒子带有负能量，吸入反粒子会使黑洞的能量减少，再通过著名的E=mc就意味着黑洞的质量会变小。此一过程在整体上看就像黑洞会辐射粒子并逐渐缩小，换句话说就是黑洞会蒸发。这项结论在物理界引起极大的轰动，被命名为霍金蒸发。能够辐射的物体就有温度，也就允许有熵。以霍金蒸发为基础，不但可以导致柏肯斯坦的结论，而且能计算出黑洞熵与黑洞表面积之间的正确的比例常数。

　　在霍金的论文发表后，黑洞具有熵已成为不争的事实。但是黑洞是否会吞噬信息的问题还远没有解决。霍金和卡特尔（Carter）等人在1973年曾严格证明了“黑洞无毛定理”：“无论什么样的黑洞，其最终性质仅由几个物理量（质量、角动量、电荷）唯一确定。”即当黑洞形成之后，只剩下这三个不能变为电磁辐射的守恒量，其他一切信息（“毛发”）都丧失了，黑洞几乎没有形成它的物质所具有的任何复杂性质，对前身物质的形状或成分都没有记忆。也就是说黑洞虽然有熵，但被带入的信息终究还是被毁灭了，即使从理论上讲也无法“复原”。霍金的这一观点当时被物理界的绝大多数人所接受，只有特霍夫特（Gerard’t Hooft，获1999年诺贝尔物理奖）和沙氏金（Leonard Susskind）等少数几个人提出质疑。他们认为信息和能量一样是不可毁灭的，即使黑洞也不能让信息消失。

　　特霍夫特是一个很有想象力的人，他在1993年猜测，信息并没有被黑洞吞噬，而是像熵一样“留”在了黑洞的表面。这是一种全息效应，与我们通常说的全息摄影的原理颇为相似：将描述一个三维空间物体的全部信息存储在一个二维的表面上。1994年沙氏金把这个猜测提升为全息原理，它不但适用于黑洞，对任何给定的空间，其内的所有信息都可以由边界面上的信息来完整描述。推而广之，宇宙中的所有信息全都反映在宇宙的边界上。沙氏金甚至认为真实的物理实际是在边界的表面上，我们生活的三维空间不过是全息影像而已。这个原理实在有点太过玄乎，所以尽管沙氏金提供了一些直观的论证，特霍夫特也曾尝试通过建构某种模型来支持该原理，但开始时基本上没什么人相信。霍金等人还从理论上对全息原理提出了强烈质疑。直到1997年底，智利物理学家马德西纳提出了在超弦理论研究中占重要地位的马德西纳猜想，情况才发生了根本的变化。马德西纳猜想大体上是说描述某种较高维空间的物理性质的弦论可以等价为低一维的空间中的量子场论，也就是在空间与包围它的表面之间建立起了某种对偶关系。这个猜想虽然还没有被完整证明，但已在超弦论研究的很多方面得到了验证，今天几乎没有人怀疑它的正确性。马德西纳猜想为全息原理奠定了一个坚实的理论基础，沙氏金最终利用超弦理论得以回答本文最开始提出的问题。他的结论是：在一个给定大小的空间中，能够存储于其内的信息确实是有限的，这个极限就是该空间的表面面积除以普朗克面积（普朗克长度约为1.6×10-35米，普朗克面积则约为2.6×10-70平方米）。值得注意的是，该极限是与给定空间的表面积成正比，而不是像通常直观想象的那样与其体积成正比。以一个半径为一米的球体为例，其表面积大约为12平方米，可存于其内的信息的极限差不多是4×10 70个位元。这是一个理论上存在，实际上可能永远接近不了的极限。