一只又死又活的薛定谔的猫

第十二章 古往今来话纽结

　　纽结就是我们日常生活中经常碰到的在绳子上打的结，北方人管它叫疙瘩。结在我国有很长的历史，最早的文字记载见于《系辞》下：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”（郑玄《周易注》称，“事大，大结其绳；事小，小结其绳”）。那时的结是记事的工具。后来出现的比较复杂的结，像蝴蝶结（出现在唐代永泰公主墓的壁画中）、同心结（最早记录于梁武帝诗词中：“腰间双绮带，梦为同心结”）、如意结和吉祥结等等，则都是作为装饰物的。到了清代，绳结已俨然被视为一门艺术，样式既多，花样也巧，结构当然也变得越来越复杂。

　　古希腊有“难解之结”（Gordian Knot）的故事：弗里吉亚的老百姓决定让第一个驾牛车进入首都的人当下一任的国王，结果一个名叫哥迪阿斯（Gordius）的老农成了国王。他受宠若惊之余，把牛车系在一根柱子上。而他打的这个结相当复杂，很久都没人解得开。于是就得了“难解之结”的名头。后来人们又决定，如果谁能解开这个结，谁就可以成为新的国王。最后解开此结的人是历史上著名的亚历山大大帝（在公元前333年）。不过他的办法是个赖皮的办法--用宝剑把“难解之结”给削断了。

　　在西方，纽结的发展经历了一条与我国非常不同的过程。他们也有各种各样的结，像渔人结、祖母结、吊人结等等。不过，这些结都没有达到同心结那样的复杂程度。在他们那里，结之所以引起重视是与航海事业的发展密切相关的。为了方便，人们开始把那些在船上有所应用的结加以分类并记录下来。早在17世纪，英国就出版过若干本有关结的书，其中之一是探险家约翰史密斯（John Smith，1580-1631）所著。此君为后人所知，倒不是因为写了这本书，而是因为他在美洲新大陆与印第安公主宝嘉康蒂（Pocahontas）有过一段交往。宝嘉康蒂是迪士尼动画电影“风中奇缘”的主角，她的故事在欧、美可说是家喻户晓。

　　从数学上对抽象的纽结进行研究，始于法国数学家范德蒙（Alexandre-Theophile Vandermonde，1735-1796）在1771年发表的一篇论文。他首先发现了可以用位置几何学的方法来研究纽结，也就是说纽结的性质是由构成它的线的相对位置决定的，而与其大小无关。之后德国的“数学王子”高斯（Gauss，1777-1855）也在此领域里做过一些工作。数学上研究的纽结都是封闭的，即没头没尾。最简单的纽结就是圆，构成它的线没有交叉点，所以它其实是“无结”。稍微复杂一点的是三叶结，它有三个交叉点。

　　和很多其他数学理论一样，纽结理论开始受到重视，也是拜物理学之赐。1860年代，热力学之父威廉汤姆森（William Thompson，1824-1907，也就是开尔文勋爵）提出了一个大胆的设想：原子的结构可以用纽结来描述，越复杂的原子对应于越复杂的纽结。为了能解释元素周期表，就需要对纽结进行分类，以期发现原子与纽结之间的内在联系。首先需要回答的问题是如何界定纽结实质意义上的同与不同。在不把纽结的线“剪”断的前提下，如果仅通过将一个纽结的线揪来揪去而变成了另一个纽结，这两个纽结就被定义为是等价的。所以有很多看似完全不同的纽结（在此意义下）其实是一回事。最初等的分类方法是以交叉点的个数为基准，把具有相同交叉点数的纽结算作一组，看看每组里面有多少是独立（互不等价）的。汤姆森的朋友塔特（Peter G。Tait，1831-1901）用的就是这种办法。这是件极为繁琐的工作，比如有8个交叉点的纽结就有256种需要分析。1885年塔特完成了对10个交叉点的所有纽结的分析，他决定到此为止，因为那时物理学的发展已经证明汤姆森的原子模型完全错了。不过对纽结的研究并没有因此而停止，只是又重新回到了纯数学的道路上。

　　要判断两个纽结是否等价绝非易事。一个有趣的例子是，1899年公布的纽结分类表中，列出的10个交叉点的独立纽结有43个。然而在75年之后，纽约的一个律师（兼数学家？）却发现其中有两个实际上是等价的！而他所用的方法极为原始--在地板上摆弄以真绳子做成的图形。其实这也并不奇怪，试想把一个根本没打结的圆圈揉成一团，它看上去可以很复杂，如果不动手去解，单凭观察，怎么能判断它到底有没有打结？为了彻底解决这类问题，人们开始着手从数学上对纽结的“不变量”进行研究。所谓“不变量”说白了就是想找到一个可以被用来描述纽结内在性质的“量”，如果两个纽结的这个“量”不同，就可以断定它们是不等价的。第一个纽结“不变量”是由美国数学家亚历山大（James W。Alexander，1888-1971）在1928年发现的，这是纽结研究中的一次重大突破，这个“不变量”后来就被称为亚历山大多项式。其后很多年，数学家们都以为亚历山大多项式是唯一的纽结“不变量”。直到1984年，一个偶然的机会让新西兰裔数学家琼斯（Vaughan Jones）发现了一个新的“不变量”--琼斯多项式。

　　琼斯的发现引发了一波研究“不变量”的热潮，越来越多新的“不变量”被相继发现。更为意想不到的是，琼斯多项式又揭示了若干个数学领域与一些物理学领域之间的内在联系。特别是在1987年前后，考夫曼（L。H。Kauffman）等人找到了纽结与物理学中的一类模型之间的对应关系，这激发了人们对纽结的新兴趣。在真实世界中，物理学研究的对象大多过于复杂，所以物理学家们构造了很多各种各样的模型，它们既能反映研究对象的主要特点，又能把复杂性尽可能降到最低。为了研究水在0度时会结冰而在100度时会沸腾这类“临界”现象，在物理学中产生了一批相应的模型，其中有一类可以得到数学上的完整解答，这就是所谓的精确可解模型。纽结理论正是与它们连在了一起。在这类模型的研究中占核心地位的杨-巴克斯特方程从而一下子成了研究纽结的利器。这次纽结与物理学的结合跟上一次很不相同，上次是物理学的需要为纽结研究提供了动力，这次则是物理学的方法直接应用到了纽结的研究之中。杨-巴克斯特方程里的杨就是大名鼎鼎的杨振宁先生，这个方程也是他最重大的三项成就之一（另外两项是杨-米尔斯规范场理论和证明宇称不守恒）。巴克斯特（Rodney Baxter）也是统计物理学领域里泰山北斗级的人物。他们两人有一个共同的特点--数学极棒，不但能驾驭非常复杂的运算，而且能透过现象抓住实质性的东西。与这两位大师我多少还有过一些接触。我的博士学位是在杨先生主持的石溪纽约州立大学理论物理所读的，与杨先生抬头不见低头见，自不必说。而我的博士论文则与巴克斯特取得的两项非常重要的成果直接相关（我们提出的两个猜想后来被他证明）。在与巴克斯特不多的几次接触中，我还闹过一个小笑话。那是在石溪读书的时候，有一次他来访问，我的导师在家里设宴招待，我也恭陪末座。巴克斯特很能喝酒，喝完伏特加又喝威士忌。酒足饭饱之余，他问起什么地方可以喝到奶昔，我随口说“汉堡王就有”，没想到几位在座的教授都哈哈大笑。转念一想，汉堡王是我们这些穷学生去的地方，哪好推荐给他们这些成名人物。

　　纽结理论自诞生之日起，其研究的对象一直是数学上抽象的结。从基本的物理原理出发来研究真实的绳子在何种情况下会缠绕并打结，则迟至2007年才开始。很多人可能都有这样的经验：当打开提包拿出手提电脑时，它的电源线有时会“自动”打上烦人的结。大多数人面对这种情况只能自认倒霉，把结解开了事。可美国加州大学的物理学家史密斯（Doug Smith）却动了彻底搞清这个问题的念头。他首先设计了一个简单的实验装置--一个可以自动摇晃的盒子，然后把不同长度及不同软硬度的绳子放在里面摇。从常识上我们知道绳子越长、越软就越容易打结，如果绳子太短或太硬则不管摇晃多久也打不成结。史密斯用他的装置不但验证了由常识得出的结论，同时还能给出很多有意义的定量的结果。比如，一定软硬度的绳子最少需要多长才有可能自动打结。这个长度就对应于一个“临界”长度，长度小于它，打结这个物理现象就不会发生。仅用盒子装置，史密斯觉得还不过瘾，因为每测试一根绳子就得摇晃几千次，效率太低，而且也不容易观察到绳结究竟是如何形成的。于是他又搞了一个计算机模拟系统，可以在很短的时间里得到许多不同软硬度的绳子在不同大小的盒子里形成结的具体过程。接着他又从基本的物理原理出发，解释了绳结形成的原因。他的这些成果发表在《美国国家科学院院刊》上，引起不少人的兴趣。

　　一直以来，无论是从数学上还是从物理上对纽结进行的研究，基本都是为了满足人们的好奇心。而最终使纽结理论成为大热门的，却是生物科学。我们都知道生物生长的过程就是细胞不断分裂、产生新细胞的过程，细胞分裂的第一步则是对作为生命基石的DNA进行复制。DNA为了保护自己所储存的信息，在一般情况下是紧紧缠作一团的。在复制过程中必须先由酶把它“解开”，这样RNA才能将DNA里储存的“密码”分段抄录下来。从拓扑学的角度看，DNA就是一个很复杂的纽结，而酶所起的作用就是解结。用纽结理论去计算解开DNA这个纽结的困难程度，就可以研究对应的酶的特性。这真像是冥冥中自有天意，让一门纯数学理论埋头发展数百年，在其逐渐成熟时，突然向它打开一扇大门，展现出一个具有广阔应用前景的新天地。

　　比较一下纽结在中国和在西方发展的历史也挺有意思的。在中国，从远古时代以绳结记事开始，之后结被用来作为纽扣，又演化成装饰品和艺术品，有些还被赋予了象征性的意义。比如，同心结取“永结同心”之意，常被用在男婚女嫁的仪式当中。又如，吉祥结代表大吉大利，吉人天相，祥瑞、美好，等等。在西方，人们则更注意绳结的实用价值（如在航海中），同时又有一些人对它们的归类（哪些结实质上是相同的）感兴趣，从而对结作了分类、归纳，并以此为基础进一步进行了数学上的高度抽象，最终产生了纯数学领域里的纽结理论。我们也许可以这样说：中国人对纽结给予了人文意义上的抽象，而西方人则对纽结进行了科学意义上的抽象。