一只又死又活的薛定谔的猫

第十三章 样式雷的屋顶与悬链线

　　从康熙到光绪，在长达200多年的时间内，江西建昌（今江西永修）人雷发达一家七代人因长期掌管样式房（清代承办内廷工程建筑的机构）而得名“样式雷”。经“样式雷”设计、承办的大型工程有：故宫三大殿、颐和园、万寿山、玉泉山、香山园庭、热河避暑山庄、昌陵、圆明园东路工程、定陵、惠陵、隆恩殿等建筑。2007年6月20日，联合国教科文组织公布，“样式雷图档”入选《世界记忆遗产名录》。中国目前入选“世界记忆遗产”的项目仅5项，“样式雷图档”便是其中的一项。

　　这个清朝御用的皇家建筑设计世家，为后世留下了许多辉煌的建筑，也留下了许多营建方面的宝贵资料，至今仍被建筑界使用和研究。其中有关皇宫屋顶规制的资料，不但详细说明了这类屋顶的等级、结构形式、材料和工艺等等，还特别指出，之所以必须做成规定的坡度和形状，是为了达到一种功能：在下雨时使雨水会流得最快，并在离开屋檐之后能射得最远。这种屋顶的形状就是在数学上称为悬链线的一类曲线。

　　早在“样式雷”之前上百年，悬链线就已经在我国的桥梁建筑中出现过。据明朝万历《新昌县志》所载，位于浙江省新昌县桃沅乡刘门坞附近的惆怅溪之上的迎仙桥（桥长29米，宽4.6米，净跨15.6米。清代道光时重修）就是具有近似于悬链线拱的古石拱桥。

　　“样式雷”实际上解决的是一个动力学问题，就是要寻找一种曲线，如果让一个小球沿着这条曲线滚落，滚下来的小球将得到最大的速度，亦即使小球滚落所需的时间最短。迎仙桥则是一个静力学问题。两者均需要运用微分方程来解决，而结果则途同归，都是悬链线。当然，不管是“样式雷”还是迎仙桥的设计者，他们都不知道悬链线这种数学曲线，更不会微积分。他们的结果完全是从实践中反复摸索、总结出来的。

　　在西方，悬链线的出现与在中国非常不同。它是作为一个抽象的问题由达芬奇（1452-1519）首先提出来的：一条两端固定、自然下垂的链子，其形状是什么（图1）？悬链线这个名称也是由此而来。这是个类似于迎仙桥拱的静力学问题。巧合的是，达芬奇生活的年代正好也是明朝。达芬奇虽然提出了问题，却没得出结论。曾经有人把这个问题给过集哲学家、物理学家和数学家于一身的笛卡尔（1596-1650），他也没能解决。大物理学家伽利略（1564-1642）认为它是抛物线，不过无法证明。此后很多年大家都相信伽利略的猜想是对的，不少数学家千方百计设法证明悬链线就是抛物线，直到法国的帕尔迪（Pardies，1636-1673）证明了伽利略其实是错的。帕尔迪的功劳是把大家从错误路线上拉了回来，然而他并没能得到正确的表达式。直到牛顿（1643-1727）和莱布尼兹（1645-1716）发明了微积分，才使最终解决悬链线的问题成为可能。莱布尼兹最先在1690年的一篇文章中提到他解决了悬链线问题，但不知因为什么原因莱布尼兹没有立即发表他的结果。若干年之后，约翰伯努利（1667-1748）公布了他利用微分方程得到的悬链线表达式。同时，荷兰数学物理学家惠更斯（Huygens，1629-1695）也解决了这一问题。不过他的方法不如约翰伯努利的漂亮。

　　说起伯努利，还有一段挺有趣的小故事。在我读大学的时候，数学课程里经常出现伯努利这个名字，而且是在多个不同的数学分支中，像伯努利数、伯努利分布、伯努利方程等等，不一而足。后来才知道数学家伯努利不止有一个。事实上，伯努利家族一共出了8个大数学家。其中最杰出的要算雅各布伯努利（1654-1705）和约翰伯努利。他们是亲兄弟，排行第五和第十。约翰伯努利主修的本来是物理和医学，博士论文也是关于医学的，但他最大的贡献却是在数学领域。他的数学是在雅各布指导下自学的，所以雅各布应该算是约翰的老师。不过，兄弟俩到后来却成为了竞争对手，并且以经常争吵而闻名。两人曾同时致力于悬链线的研究。尽管建议对这个问题进行研究的是雅各布，首先得到悬链线的正确解的却是约翰。这件事一直让约翰非常得意，觉得这是他在他们兄弟之争中的一大胜利。甚至在他哥哥去世10多年之后，在一封给朋友的信里他仍以颇为自得的口吻讲到这段往事：“你说我哥哥提出了这个问题，这是事实。但这是否表示他有一个解决的方法呢？当然不是。当他在我的建议下提出这个问题（因为是我首先想起它来的）时，不论是他还是我都不知道如何解这个问题，我们绝望地认为它是不可解的。……我哥哥的努力毫无成果；而我则幸运得多，因为我发现了彻底解决这个问题的办法。……当我满怀喜悦地跑去找他时，他还在与这个难题痛苦地奋战，只是毫无进展，始终像伽利略一样认为悬链线是抛物线。我对他说停下来、停下来，别再折磨你自己了，试图证明悬链线等于抛物线根本就是错的！”

　　在伯努利等人解决了悬链线问题之后，悬链线又出现于若干个似乎互不相关的地方。其一为前面提到过的小球滚落的动力学问题。其二为一类运动学问题，一个简单的例子是一枚具有自动跟踪功能的导弹追踪沿直线飞行的飞机所走的轨迹。在西方，大概直到20世纪60年代悬链线才在工程中得到应用--悬链线吊桥（最早的设计是出自一位德国设计师之手）。

　　对比悬链线在中国和在西方的出现与发展的过程是很有意思的。在中国这是一个纯粹的从实践中来，到实践中去的过程。所用的方法是归纳法，从来没有人问过为什么，当然也就不可能上升到理论的高度。在西方，在达芬奇提出这个问题后的最初几百年里，这基本上是一个抽象的纯数学问题，完全没有实际应用。所用的方法是演绎法，也没人关心解决了这个问题到底有什么用。当然，问题的提出还是来源于实际观察，也算是从实践中来。不同的是，他们对问题进行了深入的理论研究，得出了全面的科学结论，并且在这个的基础上才又应用到实际中去。

　　为什么西方人会对这样一个在当时看似并无实际应用的问题如此感兴趣，并且锲而不舍地研究了几百年？为什么同时代的中国人尽管在实际中令人不可思议地应用了这种曲线，却对其“所以然”从未深究？这恐怕只能从文化传统中找原因了。正如人类学家莱斯利怀特（Leslie White，1900-1975）所说“如果让牛顿一直呆在霍屯图特（Hottentot，一个在南非的原始部落）文化中，他会像霍屯图特人一样进行计算”。这个题目太大，不是这篇短文所能论述清楚的。不过，有一点也许值得一提。西方文化根植于古希腊哲学，而古希腊哲学家们对几何学一贯极为重视。据说在柏拉图（公元前427-前347）担任院长近40年的研究院的大门上挂着一块牌子，上面写着“缺少几何学知识者莫入”。柏拉图甚至试图用五种立体几何图形来解释物质结构（图2），四面体对应于火、立方体对应于土、八面体对应于气、二十面体对应于水，十二面体则对应于整个宇宙。而在我国古代，几何学乃至整个数学从来没有取得过能与哲学并驾齐驱的地位。尽管我们的祖先也曾取得过不少辉煌的数学成果，像圆周率的计算，开平方、开立方的方法等等都比西方领先很多年。然而这些成果大都是以实际应用为目的，缺少更高层次的抽象内容。比如解二元一次方程组，我国数学家讲的是形象的“鸡兔同笼”，西方则是抽象的x和y。尤其像素数、黄金分割率、公理体系这类纯抽象的概念从未出现在我国古代数学之中。古希腊的几何学则是从公理出发，以严格的逻辑推导为根本的。从而奠定了西方数学重视演绎法的传统。而演绎法正是通向近代数学乃至近代科学的不可或缺的思维方法。

　　长久以来，很多人都问过这样一个问题：具有几千年历史的中国文化为什么没能孕育出近代科学？著名物理学家杨振宁曾经在一篇文章中归纳了五条（《曙光集》）：

　　第一，中国的传统是入世的，不是出世的。换句话说就是比较注重实际，不注重抽象的理论架构。

　　第二，科举制度。

　　第三，观念上认为技术不重要，认为是“奇技淫巧”。

　　第四，中国传统里面无推演式的思维方法。

　　第五，有“天人合一”的观念。

　　悬链线的故事倒是为第一和第四条提供了一个颇具说服力的例子。