在生活中，我们会常常遇到一些令人疑惑现象。比如说，为什么我等的那班公交车就总是不来。公交车时刻表上是10分钟一班，我是随机到达车站的，那我有可能等1分钟，也有可能等10分钟，照理说我应该平均等待5分钟左右。可实际上我总是要等上差不多10分钟。可能有人会说，这个叫幸存者偏差，你只记得在运气差的时候吐槽。
其实，这不是幸存者偏差，而是一个著名的“等待时间悖论”(Waiting Time Paradox）。在实际生活中，如果公交车平均10分钟来一班，那你等车的平均时间并不是5分钟，而是一定比5分钟长。
我们来看个最简单的情况。你计划早上7点多从家里出发，坐10分钟1班的公交车去公司上班。假设公交车司机很厉害，拥有无视一切路况，绝对准时抵达公交站的超能力，那理论上这班车的到站时间应该是7点10分。再假设你是绝对随机的在7点到8点之间的某一刻出现在车站。那你平均的等车时间就是5分钟。
虽然1小时还是6班车，但如果你7点到7点15之间到车站，你平均等待时间是2分半，如果你7点16到8点之间到车站，你平均要等待7分半。也就是说，你有1/4概率等2分半，还有3/4的概率等7分半。加权平均一下，你的平均等待时间变成了6分15秒，要比你5分钟的等车期望值长了25%。
就是因为司机是会有的开的快，有的开的慢，那乘客的等待时间就一定会变长。这里问题的本质是因为乘客坐上快车和慢车的概率是不相等的。慢车因为它慢，占据的时间就更多，所以乘客更有可能，落入等慢车的区间里，从而拉长了你的等待时间。
如果司机是会越开越受到随机因素的影响，那么从起点站均匀出发的公交车，它们之间的距离就会越来越随机。有时候几辆车前后脚连着进站，有时候等死也不来。理论上可以证明，如果公交车非常随机的到站，那两辆车到站的时间间隔会服从一个指数分布(exponential distribution)。而1小时内到站的公交车数量会服从一个泊松分布(Poisson Distribution)，在这种情况下你的平均等车时间，就等于发车的时间间隔。也就是说10分钟一班的公交车，你平均就得等10分钟。听着很反直觉，但这是数学上可以证明的事实。
还有一个和“等待时间悖论”非常相似的悖论，叫“友谊悖论”(Friendship Paradox）。它是说，你的朋友比你有更多的朋友。是不是会经常觉得你自己在大型聚会上，不知道怎么跟别人说话，但你的朋友却是左右翻飞，感觉跟谁都聊得个热火朝天的。心里有点郁闷哈，我的朋友们就比我更受欢迎吗？
直觉上你会觉得，我的朋友数和我朋友的朋友数，那应该差不多嘛。我们不都是就那么几个朋友吗？但是平均来说，你的朋友大概率拥有比你更多的朋友。这个道理其实也非常简单。因为朋友多的人，会更有可能是你的朋友。所以你的朋友，更有可能拥有比你多的朋友。
“等待时间悖论”和“友谊悖论”，看上去离得很远，其实他们很像。坐不上公交车和交不到朋友，冥冥之中有同样的本质。而他们背后就是所谓的“检查悖论”（Inspection Paradox）。“检查悖论”是一种统计现象，主要出现在不均匀分布的事件中。它指的是在随机抽样时，较大的数值往往更有可能被抽到，从而使得我们观察到的结果有偏差。
比如一个学校里，有人多的大班和人少的小班。你想调研一下，班级的平均人数，就随机问了十个同学你班有多少人，再取平均。你觉得你的抽样很随机。但是因为大班人多，所以这十个人更可能来自大班，你的调研结果一定是偏大的。公交车悖论也是一样，你是在用自己的时间，去感受公交车的平均到站时间，那你就有更大的概率在等站距时间更长的慢车。
事实上，生活中的“检查悖论”无处不在。开车赶路的人总是觉得自己走哪条道，那条道就堵。航空公司觉得，自己的航班统计下来平均的上座率并不高。但乘客都觉得飞机很挤，因为有更多的乘客挤在那些很挤的航班里。
“检查悖论”提醒着我们，你看到什么，取决于你在看哪。我们对世界的感触，构成了我们对世界的认知，而我们是在盲人摸象。我们的经验会因为观察世界的方式而变化。有时候你以为在随机公平地采样，但其实你的采样方式，却成了一种偏见的来源。当你挤在飞机里的时候，堵在路上的时候，等公交车的时候，我们应该认识到，现在的烦躁，只不过是“检查悖论”罢了。得知了原理之后，你是不是豁然开朗了？
写到这里，忽然想起，在2024年美国总统竞选过程中，有一些形形色色奇奇怪怪的民调结果，是不是一次次地见证了“检查悖论”？
